1. LE TEST DE LA CAUSTIQUE

Le Problème de l'Aberration Sphérique

Un miroir sphérique focalise tous les rayons en un point unique (le centre de courbure) si la source lumineuse est placée à ce même centre de courbure. Mais pour un télescope, nous utilisons souvent des formes Paraboliques ou Hyperboliques pour corriger les images venues de l'infini.

Cependant, lorsqu'on fabrique ces miroirs à la main et qu'on les teste au centre de courbure avec un appareil de Foucault, ils ne focalisent plus en un seul point. Chaque zone (chaque anneau) du miroir possède son propre point de convergence. L'ensemble de ces points forme une courbe géométrique tridimensionnelle appelée la Caustique.

Le Test de la Caustique (inventé par Platzeck et Gaviola en 1939) consiste à mesurer les positions X (transversale) et Y (longitudinale) de convergence pour chaque zone du miroir, et à les comparer aux valeurs théoriques parfaites.

Combien de zones ? (critère de Texereau)

Dans une zone de rayon moyen z et de demi-largeur h, l'onde réfléchie s'écarte d'une sphère de |K|·z²·h²/R³. Texereau tolère k = 37 nm (environ λ/15). D'où la demi-largeur maximale et le nombre de zones (d = diamètre du trou central) :

Le produit h·z étant constant, les zones sont d'aire égale : larges au centre, étroites au bord. Pour un miroir parabolique de 300 mm à f/5 (R = 3000 mm) : 6 zones, de 61 mm au centre à 13 mm au bord.

2. LES FORMULES GÉNÉRALES (Toutes Coniques)

Les équations utilisées par l'Astro Master sont les formules mathématiques exactes de Cornejo et Malacara.

Variables :

• R = Rayon de courbure au centre
• K = Constante conique (Sphère=0, Parabole=-1, etc.)
• S = Hauteur de la zone (Distance depuis le centre)

Étape 1 : La Courbure (c)

Étape 2 : La Flèche (z) - "Sagitta"

C'est la profondeur du miroir à la hauteur S.

Étape 3 : Coordonnées de la Caustique (X, Y)

Le logiciel calcule deux valeurs. Y est la position longitudinale (avant/arrière) et X est la position transversale (latérale).

Comme 2 + A(A − 3) = (1 − A)(2 − A), l'expression de X se simplifie : le logiciel utilise cette forme, qui reste définie même quand A = 1.

Le signe de X indique seulement que le point de la caustique est de l'autre côté de l'axe par rapport à la zone mesurée : on relève sa valeur absolue.

3. EXEMPLE DE CALCUL À LA MAIN

4. MODULE ARCHITECTE OPTIQUE

Ce module utilise la théorie de Schwarzschild du 3ème ordre pour calculer les miroirs.

Variables :

• D = Diamètre du primaire, F = Focale du système, F1 = Focale du primaire
• B = Back focus : distance entre le sommet du primaire et le foyer
• d = Séparation entre les deux miroirs, M = Grandissement du secondaire
• CPL = Champ de pleine lumière (diamètre au foyer sans vignettage)

Géométrie commune (Cassegrain, RC, DK, Nasmyth)

Cassegrain classique

Primaire parabolique, secondaire hyperbolique.

Ritchey-Chrétien

Deux hyperboles : l'aberration sphérique et la coma sont annulées.

Dall-Kirkham

Pour un DK, on impose un secondaire sphérique (K2=0). Le primaire doit être une Ellipse Prolate pour compenser.

Schmidt-Cassegrain (SCT)

Les deux miroirs sont sphériques (K1 = K2 = 0). Leur aberration sphérique est corrigée par une lame de Schmidt placée à l'entrée du tube : une face plane, l'autre asphérique, presque plane (quelques dizaines de µm de creux).

r0 = demi-diamètre de la lame, n = indice du verre, R1 = rayon du primaire. Le terme 1,5·r0² place la zone neutre (creux maximal) à 0,866·r0, ce qui limite le chromatisme de la lame. Keq est la part de « parabolisation » que la lame doit fournir : l'opposé du K1 d'un Dall-Kirkham de même géométrie. Exemple (D = 300, F = 4500, F1 = 900, N-BK7) : creux de 17,6 µm à 130 mm du centre. Ce calcul au 3e ordre corrige l'aberration sphérique ; la coma de la formule SCT classique subsiste.

Newton

Primaire parabolique (K1 = -1). Le petit axe du miroir plan diagonal dépend de la distance L entre le diagonal et le foyer : rayon intérieur du tube (Dtube / 2) + sortie du foyer hors du tube (B).

Pouvoir séparateur

5. LUNETTE APOCHROMATIQUE DE PETZVAL (5 LENTILLES)

La formule Petzval moderne associe un triplet apochromatique à l'avant et un doublet arrière placé près du foyer. Le triplet forme l'image avec très peu de chromatisme ; le doublet raccourcit la focale (réducteur) et aplanit le champ pour couvrir un grand capteur.

Triplet apochromatique (lentilles minces)

Trois verres de constringences V et de dispersions partielles P (raies g et F) différentes permettent d'annuler à la fois le chromatisme primaire et le spectre secondaire :

Avec S-FPL53 + N-KZFS11 + N-SF6, on obtient φ ≈ (+2,14 ; −1,41 ; +0,27) / F1 : le verre ED porte presque toute la puissance positive.

Courbure de champ (somme de Petzval)

Deux groupes positifs ajoutent leurs courbures : c'est le défaut de l'objectif de Petzval d'origine (1840). Le doublet arrière retenu ici est un couple positif puis négatif, espacés (type Galilée) : sa puissance totale reste faible, mais il réduit la focale et ramène la somme de Petzval vers zéro.

Optimisation par tracé de rayons

Les rayons de courbure, épaisseurs et espacements ne sont pas tirés de proportions : le logiciel trace des rayons réels (loi de Snell-Descartes en 3D, indices des verres par la formule de Sellmeier) sur 3 champs et 4 longueurs d'onde (g, F, d, C), puis ajuste les 10 courbures et les 2 espacements par la méthode de Levenberg-Marquardt tout en tenant la focale demandée. Les épaisseurs respectent un bord d'au moins 3 % et un centre d'au moins 6 % du diamètre.

Le critère est le front d'onde de chaque couleur (différence de marche rapportée à la sphère centrée sur l'image de la raie d, dans le plan du capteur : la couleur latérale compte) et non la seule taille de la tache : quand la tache approche de la tache d'Airy, deux couleurs mises au point à 0,2 mm l'une de l'autre donnent encore une petite tache géométrique, mais une image floue. La qualité s'exprime par le rapport de Strehl polychromatique (critère de Maréchal, S ≈ exp(−(2πσ)²) pour un front d'onde d'écart type σ en longueurs d'onde) :

Le doublet arrière, loin du diaphragme, produit de la couleur latérale : son négatif est en N-KZFS11, un flint court à dispersion partielle anormale. Avec un seul verre ED dans le triplet, la formule est apochromatique sur tout un champ de 44 mm à partir de f/6,5 environ (100 mm) ; à f/5,5 elle l'est au centre, la couleur latérale dégradant le bord. Plus ouverte, il faudrait davantage de verres ED.

Le résultat est une pré-étude : à valider dans un logiciel de conception optique (tolérances de fabrication, disponibilité des verres) avant de faire tailler les lentilles, par exemple FreeOptical.

6. POUR ALLER PLUS LOIN : FREEOPTICAL

Cette suite donne les formules et les pré-études. Pour concevoir et vérifier un instrument complet, FreeOptical est un logiciel libre et gratuit de conception optique pour Linux, dans l'esprit des grands logiciels professionnels :

• tracé de rayons exact en 3D : miroirs, lentilles, asphériques, surfaces basculées et décentrées, obstructions, réseaux de diffraction ;
• vrais verres (formules de Sellmeier, catalogues Schott, Ohara, CDGM) ;
• spot diagram, front d'onde et polynômes de Zernike, rapport de Strehl, PSF, FTM, coefficients de Seidel, courbure de champ et distorsion ;
• optimisation sur tous les champs et toutes les couleurs ;
• télescopes, lunettes, spectrographes, oculaires, microscopes ;
• interface en français, anglais et allemand.

jbandrivet.github.io/freeoptical